Calcolo Esempi

$\int \tan^{2} (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\tan^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u)$ come $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Passaggio 10.4

$\frac{1}{2}$ e $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$