Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{x + h}{x + h + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{x}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h + 1) (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{x + h}{x + h + 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{x}{x + 1}$ per $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Espandi $(x + h) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Moltiplica $h$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Semplifica.

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Passaggio 4.1.5.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.4.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Somma $x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Somma $h x + h - x h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Sottrai $x h$ da $h x$ .

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Passaggio 4.1.5.9.1

Riordina $h$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9.2

Sottrai $x h$ da $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Somma $h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $\frac{1}{x + 1}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 7.2.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Passaggio 7.2.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Passaggio 7.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 8