Calcolo Esempi

$g (x) = \sqrt{9 - x}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \sqrt{9 - (x + h)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\sqrt{9 - x - h}$ .

$\sqrt{9 - x - h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - (\sqrt{9 - x})}{h}$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $\sqrt{9 - x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.4

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.5

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.6

Calcola il limite di $\sqrt{9 - x}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.7

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.7.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.7.2

Combina i termini opposti in $\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.7.2.1

Somma $9 - x$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.7.2.2

Sottrai $\sqrt{9 - x}$ da $\sqrt{9 - x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}]$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 - x - h}$ come ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 9 - x - h$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 - x - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 - x - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x - h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $9$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.5

Poiché $- x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- h$ rispetto a $h$ è $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.13

Somma $0$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.15

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.16

$\frac{1}{2}$ e ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.17

$\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.18

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.19

Riscrivi $- 1 {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.20

Sposta ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.4

Poiché $- \sqrt{9 - x}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- \sqrt{9 - x}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.5

Somma $- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 5.5

Riscrivi ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{9 - x - h}$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}} \cdot 1$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - x - h}}$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

Passaggio 6.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h}}$

Passaggio 6.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 6.7

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 6.8

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 6.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x + 0}}$

Passaggio 6.9.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.2.1

Somma $9 - x$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x}}$

Passaggio 6.9.2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ per $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{9 - x}} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}})$

Passaggio 6.9.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ per $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x} \sqrt{9 - x}}$

Passaggio 6.9.2.3.2

Eleva $\sqrt{9 - x}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} \sqrt{9 - x}}$

Passaggio 6.9.2.3.3

Eleva $\sqrt{9 - x}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} {\sqrt{9 - x}}^{1}}$

Passaggio 6.9.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.9.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{2}}$

Passaggio 6.9.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{9 - x}}^{2}$ come $9 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 - x}$ come ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.9.2.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.9.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.9.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.9.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{1}}$

Passaggio 6.9.2.3.6.5

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$

Passaggio 6.9.2.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{(9 - x) \cdot 2}$

Passaggio 6.9.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $9 - x$ .

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{2 (9 - x)}$

Passaggio 7