Calcolo Esempi

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$

Passaggio 1

Find the

x

$x$ values where the second derivative is equal to

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ come

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = \frac{1}{2}

$n = \frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere

- 1

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

- 1

$- 1$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai

2

$2$ da

1

$1$ .

\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e

$- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.2.4

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.5

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai

$2$ da

$- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 1.1.2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Sposta

$x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a

$0$ , quindi risolvi l'equazione

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a

$0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché

$1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di

$f (x) = \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il radicando in

$\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di

$x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$[0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo

$[0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.3

Per scrivere

$2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.4

$2$ e

$\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.6.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.6.2

Somma

$4$ e

$3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo

$[0, \infty)$ perché

$f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su

$[0, \infty)$ poiché

$f'' (x)$ è negativo

Funzione concava su

$[0, \infty)$ poiché

$f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5