Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 1.1.2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.11.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$[0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $[0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.6.2

Somma $4$ e $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $[0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su $[0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5