Calcolo Esempi

Trovare la Concavità f(x)=3/(x-5)
Passaggio 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.1
Differenzia usando la regola multipla costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.1.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.3.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.3.5.1
Somma e .
Passaggio 1.1.1.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.1.4.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.4.2.1
e .
Passaggio 1.1.1.4.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1
Differenzia usando la regola multipla costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.1.2
Applica le regole di base degli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.2.1.2.2
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1.2.2.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.1.2.1.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.3.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.3.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.5.1
Somma e .
Passaggio 1.1.2.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.2.4.2
e .
Passaggio 1.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 1.2.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 1.2.3
Poiché , non ci sono soluzioni.
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Passaggio 2
Trova il dominio di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 2.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.3
Il dominio è formato da tutti i valori di che rendono definita l'espressione.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 3
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 4
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.1
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.1.1
Sottrai da .
Passaggio 4.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 4.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 5
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Sottrai da .
Passaggio 5.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.2.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 6
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7