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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Trova la derivata seconda.
Passaggio 1.1.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 1.1.1.1
Differenzia.
Passaggio 1.1.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.1.2
Calcola .
Passaggio 1.1.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2
Trova la derivata seconda.
Passaggio 1.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2
Calcola .
Passaggio 1.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.3
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 1.1.2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.3.2
Somma e .
Passaggio 1.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Passaggio 1.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 1.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 1.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 1.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 1.2.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 1.2.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 1.2.2.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 1.2.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 2
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 3
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 4.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 4.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 5.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 6
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7