Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.1.4.6

Moltiplica ${(x - 2)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.3.1

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1.1.1.5.3.2

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.3.3

Scomponi $3 {(x - 2)}^{2}$ da $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.5

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.6

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.7.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.7.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.9.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.9.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Passaggio 1.1.1.5.10

Espandi $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.7

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.8

Moltiplica $- 2$ per $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.1.1.5.11.10

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Passaggio 1.1.1.5.12

Sottrai $48 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Passaggio 1.1.1.5.13

Somma $24 x$ e $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- 54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 54 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Poiché $72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $72 x$ rispetto a $x$ è $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.4.3

Moltiplica $72$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $36 x^{2} - 108 x + 72$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $36$ da $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $36$ da $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $36$ da $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $36$ da $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $36$ da $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $36$ da $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 108$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $72$ .

$f'' (0) = 72$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $72$ .

$72$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 1)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.5$ nell'espressione.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $1.5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 108$ per $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $162$ da $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 81$ e $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 9$ .

$- 9$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, 2)$ perché $f'' (1.5)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 108$ per $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $432$ da $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $144$ e $72$ .

$f'' (4) = 216$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $216$ .

$216$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(2, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(1, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8