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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Trova la derivata seconda.
Passaggio 2.1.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 2.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2
Calcola .
Passaggio 2.1.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.1.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.1.3
Calcola .
Passaggio 2.1.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.1.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.1.4
Calcola .
Passaggio 2.1.1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.4.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.1.1.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.1.5
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 2.1.1.5.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.5.2
Somma e .
Passaggio 2.1.2
Trova la derivata seconda.
Passaggio 2.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2
Calcola .
Passaggio 2.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.1.2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.3
Calcola .
Passaggio 2.1.2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.1.2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.4
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 2.1.2.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.4.2
Somma e .
Passaggio 2.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Passaggio 2.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.2.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 2.2.4
Imposta uguale a .
Passaggio 2.2.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 2.2.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.2.5.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 3
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 4
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 5.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
Sottrai da .
Passaggio 5.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 6.2.1.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 6.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2
Somma e .
Passaggio 6.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7
Passaggio 7.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 7.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 7.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 7.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.2
Somma e .
Passaggio 7.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 7.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 8
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 9