Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 1.2.2

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 4)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 4$ da $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 1.2.16

$8$ e $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.2.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.3

Scomponi $8$ da $- 24 x^{2} + 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.3.1

Scomponi $8$ da $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.3.2

Scomponi $8$ da $32$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.3.3

Scomponi $8$ da $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 4)$ come $- 1 (3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ .

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 4$ per $1$ .

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $8$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 4$

Passaggio 2.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.3.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.3.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.5.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.1.2.2.7

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.1.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.1.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.9.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Passaggio 3.1.2.2.9.2

Somma $4$ e $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Passaggio 3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ è $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.1.8

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.7

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.7.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Passaggio 3.3.2.2.8

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.9

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.11.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.11.2

Somma $4$ e $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Passaggio 3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ è $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.25470053$ nell'espressione.

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.25470053$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Sottrai $4$ da $4.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 1.25470053$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $1.57427344$ e $4$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $5.57427344$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $8$ per $0.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $5.78256258$ per $173.20674748$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.03338531$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Passaggio 5.3

Per $- 1.25470053$ , la derivata seconda è $- 0.03338531$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $4$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Scomponi $32$ da $64$ .

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $0.5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Crescente su $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.25470053$ nell'espressione.

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.25470053$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $4$ da $4.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $1.25470053$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $1.57427344$ e $4$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $5.57427344$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $8$ per $0.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $5.78256258$ per $173.20674748$ .

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.03338531$ .

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Passaggio 7.3

Per $1.25470053$ , la derivata seconda è $- 0.03338531$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Passaggio 9