Calcolo Esempi

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.5.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.2.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.2

Combina i termini opposti in $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.2.2.1

Sottrai $e^{2 x}$ da $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.2.2

Somma $8 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 + e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.6.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.6.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.9

Somma $x$ e $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.10

Scomponi $8 + e^{x}$ da ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $8 + e^{x}$ da ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.10.2

Scomponi $8 + e^{x}$ da $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.10.3

Scomponi $8 + e^{x}$ da $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Passaggio 2.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Scomponi $8 + e^{x}$ da ${(8 + e^{x})}^{4}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.12

$8$ e $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.2

Sottrai $16 e^{2 x}$ da $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.4.1

Scomponi $8$ da $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.4.1.1

Scomponi $8$ da $64 e^{x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.1.2

Scomponi $8$ da $- 8 e^{2 x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.1.3

Scomponi $8$ da $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.2

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.3

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.4

Scomponi $u$ da $8 u - u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.4.4.1

Scomponi $u$ da $8 u$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.4.2

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.4.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 8 + u (- u)$ .

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.3.3

Imposta $8 - e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $8 - e^{x}$ uguale a $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $8 - e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{x} = - 8$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{x} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{x} = - 8$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Passaggio 3.3.3.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Passaggio 3.3.3.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Passaggio 3.3.3.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Passaggio 3.3.3.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (8)$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ vera.

$x = \ln (8)$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\ln (8)$ in $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (8)$ nell'espressione.

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $8$ e $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

Passaggio 4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\ln (8)$ in $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ è $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \ln (8))$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.97944154$ nell'espressione.

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $1.97944154$ , la derivata seconda è $0.01245842$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \ln (8))$ .

Crescente su $(- \infty, \ln (8))$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\ln (8), \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.17944154$ nell'espressione.

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Passaggio 7.3

Per $2.17944154$ , la derivata seconda è $- 0.01245842$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\ln (8), \infty)$ .

Decrescente su $(\ln (8), \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Passaggio 9