Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 16 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 16 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $6 x - 16$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x - 16$ .

$6 x - 16$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x - 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x - 16 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 16$

Passaggio 3.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 16$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{16}{6}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $16$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$x = \frac{2 (8)}{6}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{8}{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{8}{3}$ in $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{8}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.7

Moltiplica $- 8 (\frac{64}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

$- 8$ e $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

Moltiplica $- 8$ per $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.9.1

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

Passaggio 4.1.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

Passaggio 4.1.2.1.10

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{512}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{512}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

Passaggio 4.1.2.2.3

Scrivi $- 32$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 32}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 32}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.6

Scrivi $9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 512$ per $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 32$ per $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $1536$ da $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $864$ da $- 1024$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $- 1888$ e $243$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $- \frac{1645}{27}$ .

$- \frac{1645}{27}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{8}{3}$ in $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ è $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{8}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.5\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $6$ per $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $16$ da $15.3\overline{9}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.6$ .

$- 0.6$

Passaggio 6.3

Per $2.5\overline{6}$ , la derivata seconda è $- 0.6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{8}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{8}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{8}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.7\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $6$ per $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $16$ da $16.5\overline{9}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.7\overline{6}$ , la derivata seconda è $0.5\overline{9}$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{8}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{8}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ .

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Passaggio 9