Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 x$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $32$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $4$ da $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $4$ da $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 48 x + 32 = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $4$ da $- 48 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 32 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $4$ da $32$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 (8) = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $4$ da $4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8) = 0$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $4$ da $4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8)$ .

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

Passaggio 3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 12 x + 8$ per $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 12$ e $c = 8$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Sottrai $96$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.3

Sottrai $96$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.3

Sottrai $96$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3.15470053$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.15470053$ nell'espressione.

$f (3.15470053) = {(3.15470053)}^{4} - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $3.15470053$ alla potenza di $4$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $3.15470053$ alla potenza di $3$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 \cdot 31.39600717 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $31.39600717$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $3.15470053$ alla potenza di $2$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 \cdot 9.95213548$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $16$ per $9.95213548$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 159.23416778$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $251.16805742$ da $99.04500074$ .

$f (3.15470053) = - 152.12305667 + 159.23416778$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 152.12305667$ e $159.23416778$ .

$f (3.15470053) = 7.11111111$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $7.11111111$ .

$7.11111111$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $3.15470053$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ è $(3.15470053, 7.11111111)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3.15470053, 7.11111111)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $0.84529946$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.84529946$ nell'espressione.

$f (0.84529946) = {(0.84529946)}^{4} - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $0.84529946$ alla potenza di $4$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $0.84529946$ alla potenza di $3$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 \cdot 0.60399282 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $0.60399282$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $0.84529946$ alla potenza di $2$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 \cdot 0.71453117$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $16$ per $0.71453117$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 11.43249887$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $4.83194257$ da $0.5105548$ .

$f (0.84529946) = - 4.32138776 + 11.43249887$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $- 4.32138776$ e $11.43249887$ .

$f (0.84529946) = 7.\overline{1}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $7.\overline{1}$ .

$7.\overline{1}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $0.84529946$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ è $(0.84529946, 7.\overline{1})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.84529946, 7.\overline{1})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(3.15470053, 7.11111111), (0.84529946, 7.\overline{1})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0.84529946) \cup (0.84529946, 3.15470053) \cup (3.15470053, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0.84529946)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.74529946$ nell'espressione.

$f'' (0.74529946) = 12 {(0.74529946)}^{2} - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.74529946$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.74529946) = 12 \cdot 0.55547128 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.55547128$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $0.74529946$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 35.77437415 + 32$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $35.77437415$ da $6.66565544$ .

$f'' (0.74529946) = - 29.1087187 + 32$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 29.1087187$ e $32$ .

$f'' (0.74529946) = 2.89128129$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2.89128129$ .

$2.89128129$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.74529946$ , la derivata seconda è $2.89128129$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0.84529946)$ .

Crescente su $(- \infty, 0.84529946)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.84529946, 3.15470053)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 32$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 32$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $96$ da $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 32$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 48$ e $32$ .

$f'' (2) = - 16$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 7.3

Per $2$ , la derivata seconda è $- 16$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0.84529946, 3.15470053)$ .

Decrescente su $(0.84529946, 3.15470053)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3.15470053, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.25470053$ nell'espressione.

$f'' (3.25470053) = 12 {(3.25470053)}^{2} - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3.25470053$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.25470053) = 12 \cdot 10.59307559 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $12$ per $10.59307559$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $3.25470053$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 156.22562584 + 32$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $156.22562584$ da $127.11690713$ .

$f'' (3.25470053) = - 29.1087187 + 32$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 29.1087187$ e $32$ .

$f'' (3.25470053) = 2.89128129$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $2.89128129$ .

$2.89128129$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $3.25470053$ , la derivata seconda è $2.89128129$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3.15470053, \infty)$ .

Crescente su $(3.15470053, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$ .

$(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$

Passaggio 10