Calcolo Esempi

$y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Passaggio 1

Scrivi $y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ come funzione.

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $- 12 x^{2} + 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{2} + 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 24 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{2} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $- 12 x$ da $24 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (x - 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ è $(0, 2)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 2)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = - 1 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (2) = - 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = - 16 + 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 4 \cdot 2 + 2$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 8 + 2$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 16$ e $32$ .

$f (2) = 16 - 8 + 2$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$f (2) = 8 + 2$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $8$ e $2$ .

$f (2) = 10$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ è $(2, 10)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, 10)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 2), (2, 10)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2.4$ da $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 2.52$ .

$- 2.52$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 2.52$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 12$ e $24$ .

$f'' (1) = 12$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1$ , la derivata seconda è $12$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 2)$ .

Crescente su $(0, 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $24$ per $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 52.92$ e $50.4$ .

$f'' (2.1) = - 2.52$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 2.52$ .

$- 2.52$

Passaggio 8.3

Per $2.1$ , la derivata seconda è $- 2.52$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(2, \infty)$ .

Decrescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 2), (2, 10)$ .

$(0, 2), (2, 10)$

Passaggio 10