Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(x - 3)}^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica ${(x - 3)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.3

Scomponi $3 {(x - 3)}^{2}$ da $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Scomponi $3 {(x - 3)}^{2}$ da $9 x {(x - 3)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Scomponi $3 {(x - 3)}^{2}$ da $3 {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

Passaggio 1.1.5.3.3

Scomponi $3 {(x - 3)}^{2}$ da $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

Passaggio 1.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.5

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.6

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.7.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.7.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.7.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.9.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.9.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

Passaggio 1.1.5.10

Espandi $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.7

Moltiplica $- 18$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.8

Moltiplica $- 3$ per $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.5.11.10

Moltiplica $27$ per $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Passaggio 1.1.5.12

Sottrai $72 x^{2}$ da $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Passaggio 1.1.5.13

Somma $54 x$ e $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $162$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $162 x$ rispetto a $x$ è $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $162$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $36 x^{2} - 162 x + 162$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $18$ da $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $18$ da $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $18$ da $- 162 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $18$ da $162$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $18$ da $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $18$ da $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ e la cui somma è $b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 9$ come $- 3$ più $- 6$ .

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{2}, 3$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{3}{2}$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Passaggio 3.1.2.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

Passaggio 3.1.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 3.1.2.9

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

Passaggio 3.1.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

Passaggio 3.1.2.11

Moltiplica $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.11.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.1.2.11.2

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.1.2.11.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

Passaggio 3.1.2.12

La risposta finale è $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{3}{2}$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ è $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $3$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (3) = 9 \cdot 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f (3) = 0$

Passaggio 3.3.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $3$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ è $(3, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3, 0)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.4$ nell'espressione.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $1.4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 162$ per $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $226.8$ da $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 156.24$ e $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $5.76$ .

$5.76$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $1.4$ , la derivata seconda è $5.76$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{3}{2})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3}{2}, 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.25$ nell'espressione.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2.25$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 162$ per $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $364.5$ da $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 182.25$ e $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 20.25$ .

$- 20.25$

Passaggio 6.3

Per $2.25$ , la derivata seconda è $- 20.25$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{3}{2}, 3)$ .

Decrescente su $(\frac{3}{2}, 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.1$ nell'espressione.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $36$ per $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 162$ per $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $502.2$ da $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 156.24$ e $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $5.76$ .

$5.76$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $3.1$ , la derivata seconda è $5.76$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Passaggio 9