Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 4 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 4 x - 4$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $- 4$ come $2$ più $- 6$ .

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{2}{3}$ .

${(- \frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{8}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{8}{27} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.7

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.10

Moltiplica $- 2 (\frac{4}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.10.1

$- 2$ e $\frac{4}{9}$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 2 \cdot 4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.10.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.12

Moltiplica $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + 4 (\frac{2}{3}) + 1$

Passaggio 4.1.2.1.12.2

$4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.12.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{8}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{8}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{8}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Passaggio 4.1.2.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $8$ per $9$ .

$\frac{- 8 - 24 + 72 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $24$ da $- 8$ .

$\frac{- 32 + 72 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Somma $- 32$ e $72$ .

$\frac{40 + 27}{27}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $40$ e $27$ .

$\frac{67}{27}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$8 - 8 - 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$8 - 8 - 8 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$0 - 8 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 8 + 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $- 8$ e $1$ .

$- 7$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{2}{3}, \frac{67}{27}), (2, - 7)$

Passaggio 5