Calcolo Esempi

$\sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x) + \sin (x)$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (x) + \sin (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.6

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.7

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.8

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 2.9

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 2.10

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 2.11

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.11.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.12

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 2.13.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 2.13.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.14

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 2.14.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.14.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.14.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.14.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.15

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 2.15.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 2.15.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.15.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.15.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.15.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.15.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.15.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 2.15.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.15.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.16

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\sin (x) - \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{3 π}{4}$ a $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{7 π}{4}$ a $x$ .

$\sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5