Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - 2 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$x = 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1$ .

$1$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 2 x - 2$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - 2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (2) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 1)$

Passaggio 8