Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2.2

Somma $- 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 0$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $8$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $25$ per $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $\frac{24}{25}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $\frac{8}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, 0)$ .

Crescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- \frac{8}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $3$ e $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $25$ per $1$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- \frac{24}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, \infty)$ .

Decrescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Decrescente su: $(0, 2), (2, \infty)$

Passaggio 11