Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

Passaggio 1.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Passaggio 1.1.3.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

Passaggio 1.1.3.6.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - x$ .

$x^{2} - x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 1$ .

$0, 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Passaggio 6.2.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{1}{4}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 4 - (2)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (2) = 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (1, \infty)$

Decrescente su: $(0, 1)$

Passaggio 9