Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1)$ .

$12 x^{2} (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{2} (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 1$ .

$0, 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 12 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 12$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $12$ da $- 12$ .

$f' (- 1) = - 24$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 24$ .

$- 24$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 24$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{3} - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{3}}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{8}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{8}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 (\frac{1}{4})$

Passaggio 6.2.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 4 (- 3) (\frac{1}{4})$

Passaggio 6.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4}))$

Passaggio 6.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{3}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $8$ .

$f' (2) = 96 - 12 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 96 - 12 \cdot 4$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f' (2) = 96 - 48$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $48$ da $96$ .

$f' (2) = 48$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $48$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, 1)$

Passaggio 9