Calcolo Esempi

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\sqrt{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\sqrt{3} x$ rispetto a $x$ è $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $\sqrt{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.6

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 3.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 3.6.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 3.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ con $x = \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ .

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ con $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 5.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 5.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Passaggio 5.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 5.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 5.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ sono $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Passaggio 7