Calcolo Esempi

$y = x^{2} + 3 x$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 x + 3$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + 3 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 3$

Passaggio 3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{2} + 3 x$ con $x = - \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Passaggio 4.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.1.6.2

$- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Passaggio 4.2.1.6.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 4.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \frac{9}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Passaggio 4.2.7

La risposta finale è $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x^{2} + 3 x$ è $y = - \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Passaggio 6