Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4 x^{3} - 6 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $2 x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $2 x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $2 x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 3$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 3$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.4.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.2.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.4.2.4.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.4.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.4.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ con $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ con $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{6}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{4}$ come $6^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $36$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Passaggio 5.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

Passaggio 5.2.1.8

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Passaggio 5.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Passaggio 5.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.9.1

$- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.9.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

Passaggio 5.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

Passaggio 5.2.2.3

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $- 9$ e $8$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ sono $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ .

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 7