Calcolo Esempi

$y = x + \sin (x)$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x + \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 + \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 3.5

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 3.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x + \sin (x)$ con $x = π$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = (π) + \sin (π)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (π) = π + \sin (0)$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (π) = π + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$f (π) = π$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $π$ .

$π$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x + \sin (x)$ con $x = π + 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π + 2 π$ nell'espressione.

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

Passaggio 5.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 5.2.2.1

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $3 π$ e $0$ .

$f (π + 2 π) = 3 π$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $3 π$ .

$3 π$

Passaggio 6

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x + \sin (x)$ è $y = π, y = 3 π$ .

$y = π, y = 3 π$

Passaggio 7