Calcolo Esempi

y = x \sqrt{x}

$y = x \sqrt{x}$

Passaggio 1

Imposta

y

$y$ come una funzione di

x

$x$ .

f (x) = x \sqrt{x}

$f (x) = x \sqrt{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ come

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Moltiplica

x

$x$ per

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica

x

$x$ per

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva

x

$x$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2.1.2

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Passaggio 2.2.4

Somma

2

$2$ e

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = \frac{3}{2}

$n = \frac{3}{2}$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 2.4

Per scrivere

- 1

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5

- 1

$- 1$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 2.7.2

Sottrai

2

$2$ da

3

$3$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.8

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ e

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a

0

$0$ quindi risolvi l'equazione

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

3 x^{\frac{1}{2}} = 0

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per

3

$3$ ciascun termine in

3 x^{\frac{1}{2}} = 0

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Dividi per

3

$3$ ciascun termine in

3 x^{\frac{1}{2}} = 0

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Dividi

$x^{\frac{1}{2}}$ per

$1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Dividi

$0$ per

$3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 3.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di

$2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Semplifica

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale

$f (x) = x \sqrt{x}$ con

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica

$0$ per

$0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 5

La tangente orizzontale sulla funzione

$f (x) = x \sqrt{x}$ è

$y = 0$ .

$y = 0$

Passaggio 6