Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 8 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x - 8$ uguale a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x - 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 8$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 8$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 8$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 x - 8) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ con $x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ con $x = \frac{8}{3}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{8}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 4.2.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

Passaggio 4.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $- 4 (\frac{64}{9})$ .

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Passaggio 4.2.1.7.1

$- 4$ e $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

Passaggio 4.2.1.7.2

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

Passaggio 4.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \frac{256}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{256}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 256$ per $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $768$ da $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

Passaggio 4.2.7

La risposta finale è $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ sono $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

Passaggio 6