Calcolo Esempi

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ come ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.5

Somma $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.6

Scomponi $4$ da $- 4 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.6.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.6.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.8

Riscrivi $16 x (- x + 2)$ come ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.8.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 1.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ come ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.5

Somma $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.6

Scomponi $4$ da $- 4 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.6.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.6.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.8

Riscrivi $16 x (- x + 2)$ come ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.8.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 1.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 1.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ come ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.5

Somma $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.6

Scomponi $4$ da $- 4 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.6.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.6.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.8

Riscrivi $16 x (- x + 2)$ come ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.8.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 1.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 1.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Somma $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ e $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Passaggio 3.2.7.2

Riordina i termini.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Passaggio 3.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2 y'$ da $2 y y' + 4 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $2 (y + 2)$ ciascun termine in $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $2 (y + 2)$ ciascun termine in $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.2

Scomponi $4$ da $- 4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.2.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.2.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.2.6.1

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Passaggio 3.5.3.3.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x - 1) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 1) = 0$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- (1) + 2$ per $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Passaggio 5.2.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- (1) + 2$ per $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Passaggio 6.2.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Passaggio 8