Calcolo Esempi

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Passaggio 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.2.6.2

Riordina i fattori di $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 (x^{2} - y^{2})$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 2.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Passaggio 2.3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Passaggio 2.3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Passaggio 2.3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$- 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.1.4.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Passaggio 2.5.2

Somma $50 y y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Passaggio 2.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Sottrai $8 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Passaggio 2.5.3.2

Sottrai $8 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $2 y y'$ da $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $2 y y'$ da $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Scomponi $2 y y'$ da $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.3

Scomponi $2 y y'$ da $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.5

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dividi per $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ ciascun termine in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Dividi per $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ ciascun termine in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.5.1

Scomponi $y$ da $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Passaggio 2.5.5.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Passaggio 2.5.5.3.2

Per scrivere $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 2.5.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Passaggio 2.5.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.6.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.7

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.7.1

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.7.2

Scomponi $x$ da $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.7.3

Scomponi $x$ da $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.7.4

Scomponi $x$ da $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.7.5

Scomponi $x$ da $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.9

Riscrivi $25$ come $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.11

Scomponi $- 1$ da $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.12

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.13.1

Riscrivi $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ come $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.5.5.3.13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Imposta $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ uguale a $0$ .

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Risolvi $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1.1

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Passaggio 3.2.3.2.1.2

Sottrai $4 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Passaggio 3.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Passaggio 3.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3.1.2.4

Dividi $- y^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

Passaggio 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.4.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.3

Riscrivi $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{5}{2}$ e $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

Passaggio 3.2.3.2.4.5

Per scrivere $y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Passaggio 3.2.3.2.4.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.4.6.1

$y$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Passaggio 3.2.3.2.4.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Passaggio 3.2.3.2.4.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Passaggio 3.2.3.2.4.8

Per scrivere $- y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

Passaggio 3.2.3.2.4.9

$- y$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

Passaggio 3.2.3.2.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.12

Moltiplica $\frac{5 + 2 y}{2}$ per $\frac{5 - 2 y}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.13

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.14

Riscrivi $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.4.14.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.14.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.2.3.2.4.14.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

Passaggio 3.2.3.2.4.15

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

Passaggio 3.2.3.2.4.16

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Passaggio 3.2.3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Passaggio 3.2.3.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Passaggio 3.2.3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Passaggio 3.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$ vera.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Passaggio 4

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 25 ({(0)}^{2} - y^{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 25 (0 - y^{2})$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $y^{2}$ da $0$ .

$f (0) = 25 (- y^{2})$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f (0) = - 25 y^{2}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- 25 y^{2}$ .

$- 25 y^{2}$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 ({(\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2})}^{2} - y^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}$ come $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ come ${((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{({((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.2

Espandi $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.3

Combina i termini opposti in $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.3.1

Riordina i fattori nei termini di $5 (- 2 y)$ e $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.3.2

Somma $- 2 \cdot 5 y$ e $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.3.3

Somma $5 \cdot 5$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.4.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.4.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.4.3.1

Sposta $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y))}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.4.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2})}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.5

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.6

Riscrivi $4 y^{2}$ come ${(2 y)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - {(2 y)}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = 2 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - (2 y))}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2})$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 5.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$- y^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Espandi $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

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Passaggio 5.2.4.2.1

Riordina i fattori nei termini di $5 (- 2 y)$ e $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $- 2 \cdot 5 y$ e $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.2.3

Somma $5 \cdot 5$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.3.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.3.1

Sposta $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.3.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2}) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.3.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4})$

Passaggio 5.2.4.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - 4 y^{2}}{4})$

Passaggio 5.2.4.5

Sottrai $4 y^{2}$ da $- 4 y^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 8 y^{2}}{4})$

Passaggio 5.2.5

$25$ e $\frac{25 - 8 y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$ .

$\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Passaggio 6

The horizontal tangent lines are $y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

$y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Passaggio 7