Calcolo Esempi

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

Passaggio 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + x y - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{4}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$8 (4 x^{3})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 x^{3}$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' + x y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Passaggio 2.5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Passaggio 2.5.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

Passaggio 2.5.3

Dividi per $3 y^{2} + x - 1$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Dividi per $3 y^{2} + x - 1$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Passaggio 2.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Passaggio 2.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Passaggio 2.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$32 x^{3} - y = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$32 x^{3} = y$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x^{3} = y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x^{3} = y$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{y}{32}$

Passaggio 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $\frac{y}{32}$ come ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{3}$ su $y$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

Passaggio 3.2.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{3}$ su $32$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

Passaggio 3.2.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

Passaggio 3.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

Passaggio 3.2.4.3

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.2.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Passaggio 3.2.4.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.5.1

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.5.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.5.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.5.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.2.4.5.1.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2.4.5.2

Combina.

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.2.4.5.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.5.3.1

Moltiplica $\sqrt[3]{y}$ per $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.2.4.5.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

Passaggio 3.2.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.6.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

Passaggio 3.2.4.6.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

Passaggio 3.2.4.6.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.6.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

Passaggio 3.2.4.6.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

Passaggio 3.2.4.6.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

Passaggio 3.2.4.6.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

Passaggio 3.2.4.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.7.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.7.1.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

Passaggio 3.2.4.7.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.7.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.2.4.7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.2.4.7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.2.4.7.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

Passaggio 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ come $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi $16 y^{4}$ come ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.4.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.4.3

Metti in evidenza $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.4.4

Sposta $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.4.5

Riscrivi $2^{3} y^{3}$ come ${(2 y)}^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.4.6

Aggiungi le parentesi.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

Passaggio 4.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Scomponi $8$ da $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

Passaggio 4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

Passaggio 4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

Passaggio 4.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 y \sqrt[3]{2 y}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

Passaggio 4.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ .

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Passaggio 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Passaggio 6