Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Passaggio 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$6 (x y' + y)$

Passaggio 2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 x y' + 6 y$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai $6 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3.2

Scomponi $3 y'$ da $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

Dividi per $3 (y^{2} - 2 x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Dividi per $3 (y^{2} - 2 x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 y - x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 2 y$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 2 y$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Passaggio 3.2.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (- 2 y)$ come $- (- 2 y)$ .

$x^{2} = - (- 2 y)$

Passaggio 3.2.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Passaggio 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Passaggio 3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2 y}$

Passaggio 3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2 y}$

Passaggio 3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Passaggio 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2 y}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $6 \sqrt{2 y}$ per $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2 y}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Passaggio 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Passaggio 7