Calcolo Esempi

$x e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $e^{- 2 x}$ per $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{- 2 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{- 2 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{- 2 x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 2 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $- 2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $- 2 x + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- 2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x e^{- 2 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $x$ .

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{2 e}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$

Passaggio 5