Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 64$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 64$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 64 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 64$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 64$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 64$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $- 64$ per $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Passaggio 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 8$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x}{x^{2} + 64}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $8$ .

$\frac{8}{{(8)}^{2} + 64}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8}{64 + 64}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $64$ e $64$ .

$\frac{8}{128}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $128$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{8 (1)}{128}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Scomponi $8$ da $128$ .

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 16}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 16}$

Passaggio 4.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{16}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 8$ .

$\frac{- 8}{{(- 8)}^{2} + 64}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 8}{64 + 64}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Somma $64$ e $64$ .

$\frac{- 8}{128}$

Passaggio 4.2.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $128$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{128}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.2.1

Scomponi $8$ da $128$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 16}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 16}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{16}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{16}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(8, \frac{1}{16}), (- 8, - \frac{1}{16})$

Passaggio 5