Calcolo Esempi

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Passaggio 1.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Passaggio 1.1.3.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

Passaggio 1.1.3.6.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Somma $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x + \frac{1}{3}$ .

$- x + \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x + \frac{1}{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- x + \frac{1}{3} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - \frac{1}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{3}$ a $x$ .

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Riordina i fattori di $9 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $4$ per $18$ .

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Somma $72$ e $2$ .

$\frac{74 - 1}{18}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Sottrai $1$ da $74$ .

$\frac{73}{18}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

Passaggio 5