Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(16 - x)}^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(16 - x)}^{3})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 16 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.9

Moltiplica ${(16 - x)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f' (x) = - 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.3

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Passaggio 1.1.5.3.3

Scomponi $3 {(16 - x)}^{2}$ da $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Passaggio 1.1.5.4

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.5

Riscrivi ${(16 - x)}^{2}$ come $(16 - x) (16 - x)$ .

$f' (x) = 3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.6

Espandi $(16 - x) (16 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1.1

Moltiplica $16$ per $16$ .

$f' (x) = 3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1.5.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.7.2

Sottrai $16 x$ da $- 16 x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.9.1

Moltiplica $3$ per $256$ .

$f' (x) = (768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.9.2

Moltiplica $- 32$ per $3$ .

$f' (x) = (768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Passaggio 1.1.5.10

Espandi $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = 768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.1

Moltiplica $- 4$ per $768$ .

$f' (x) = - 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.2

Moltiplica $768$ per $16$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x^{2}) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.5

Moltiplica $- 96$ per $- 4$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.6

Moltiplica $16$ per $- 96$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.8.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.9

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Passaggio 1.1.5.11.10

Moltiplica $16$ per $3$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.12

Sottrai $1536 x$ da $- 3072 x$ .

$f' (x) = - 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.13

Somma $384 x^{2}$ e $48 x^{2}$ .

$f' (x) = - 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $- 4608 x$ .

$12 (- 384 x) + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $12288$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $- 12 x^{3}$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 432 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $432 x^{2}$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (- 384 x) + 12 (1024)$ .

$12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $12$ da $12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3})$ .

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $12$ da $12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2})$ .

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3} + 36 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riordina i termini.

$12 (- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.3.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

Passaggio 2.2.3.1.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$- 4^{3} + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 64 + 36 \cdot 16 - 384 \cdot 4 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.5

Moltiplica $36$ per $16$ .

$- 64 + 576 - 384 \cdot 4 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.6

Somma $- 64$ e $576$ .

$512 - 384 \cdot 4 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.7

Moltiplica $- 384$ per $4$ .

$512 - 1536 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.8

Sottrai $1536$ da $512$ .

$- 1024 + 1024$

Passaggio 2.2.3.1.3.9

Somma $- 1024$ e $1024$ .

$0$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024}{x - 4}$

Passaggio 2.2.3.1.5

Dividi $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ per $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$36 x^{2}$

$384 x$

$1024$

Passaggio 2.2.3.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$

Passaggio 2.2.3.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $32 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					+	$32 x^{2}$	-	$128 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $32 x^{2} - 128 x$

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$

Passaggio 2.2.3.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

Passaggio 2.2.3.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 256 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

Passaggio 2.2.3.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							-	$256 x$	+	$1024$

Passaggio 2.2.3.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 256 x + 1024$

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$

Passaggio 2.2.3.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$
										$0$

Passaggio 2.2.3.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + 32 x - 256$

Passaggio 2.2.3.1.6

Scrivi $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ come insieme di fattori.

$12 ((x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 256 = 256$ e la cui somma è $b = 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1.1

Scomponi $32$ da $32 x$ .

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 (x) - 256) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.1.2

Riscrivi $32$ come $16$ più $16$ .

$12 (x - 4) (- x^{2} + (16 + 16) x - 256) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (x - 4) (- x^{2} + 16 x + 16 x - 256) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 (x - 4) ((- x^{2} + 16 x) + 16 x - 256) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (x - 4) (x (- x + 16) - 16 (- x + 16)) = 0$

Passaggio 2.2.4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 16$ .

$12 (x - 4) ((- x + 16) (x - 16)) = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x - 4) (- x + 16) (x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$12 (x - 4) (- (x) + 16) (x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi $16$ come $- 1 (- 16)$ .

$12 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot - 16) (x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 16)$ .

$12 (x - 4) (- (x - 16)) (x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.5.4

Riscrivi $- (x - 16)$ come $- 1 (x - 16)$ .

$12 (x - 4) (- 1 (x - 16)) (x - 16) = 0$

Passaggio 2.2.5.5

Rimuovi le parentesi.

$12 (x - 4) \cdot (- 1 (x - 16) (x - 16)) = 0$

Passaggio 2.2.5.6

Eleva $x - 16$ alla potenza di $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

Passaggio 2.2.5.7

Eleva $x - 16$ alla potenza di $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

Passaggio 2.2.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{1 + 1}) = 0$

Passaggio 2.2.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.5.10

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

${(x - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x - 16)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x - 16)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x - 16)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Poni $x - 16$ uguale a $0$ .

$x - 16 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 16$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$ vera.

$x = 4, 16$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x {(16 - x)}^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$3 (4) {(16 - (4))}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 {(16 - (4))}^{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$12 {(16 - 4)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$12 \cdot 12^{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $12$ per $12^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $12$ per $12^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $1$ .

$12^{1} \cdot 12^{3}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12^{1 + 3}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Somma $1$ e $3$ .

$12^{4}$

Passaggio 4.1.2.5

Eleva $12$ alla potenza di $4$ .

$20736$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $16$ .

$3 (16) {(16 - (16))}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $3$ per $16$ .

$48 {(16 - (16))}^{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$48 {(16 - 16)}^{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Sottrai $16$ da $16$ .

$48 \cdot 0^{3}$

Passaggio 4.2.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$48 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(4, 20736), (16, 0)$

Passaggio 5