Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $15$ da $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $15$ da $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $15$ da $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Scomponi $15$ da $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Passaggio 2.3.1.4

Scomponi $15$ da $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Passaggio 2.3.1.5

Scomponi $15$ da $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Passaggio 2.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi ${(u - 1)}^{2}$ per $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Dividi $0$ per $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5

Poni $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 2.6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 2.7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.8

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.8.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.8.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.8.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $15$ per $1$ .

$3 - 10 + 15$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $10$ da $3$ .

$- 7 + 15$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 7$ e $15$ .

$8$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 3$ e $10$ .

$7 - 15$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $15$ da $7$ .

$- 8$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Passaggio 5