Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ .

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ .

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $3 x^{2} + x + 1$ per $1$ .

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.7.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.7.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.7.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

Passaggio 2.7.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

Passaggio 2.7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.8.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.8.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.8.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

Passaggio 2.8.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

Passaggio 2.8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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