Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{5 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 12 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $3 x^{2} + 24 x - 5$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 24 x - 5$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $24$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5)$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $24$ per $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 1 \cdot 5)$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 5)$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} (0 - 5)$

Passaggio 5.3

Sottrai $5$ da $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 5$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (- 1))$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1$