Calcolo Esempi

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.3

Poiché $- 4 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Passaggio 1.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $- 4 x + 2$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Passaggio 1.6.3

Somma $- 4 x + 2$ e $0$ .

$- 4 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x + 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $- 4 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.6.2

Somma $- 4 x + 2$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Passaggio 4.1.6.3

Somma $- 4 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x + 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x + 2$ .

$- 4 x + 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x = - 2$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 2$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$x = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4$

Passaggio 9

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.5

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 1 + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{- 1 + 2}{2} + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.2.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{1}{2} + 2 y + 3$

Passaggio 10.2.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.2.4

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 6}{2}$

Passaggio 10.2.6.2

Somma $1$ e $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Passaggio 10.2.7

La risposta finale è $- 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$ .

$y = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ .

$(\frac{1}{2}, - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 12