Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 4 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x + 4 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $10 x + 4$ e $0$ .

$10 x + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $10$ e $0$ .

$f'' (x) = 10$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 x + 4 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 4 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 10 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 10 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 10 x + 4 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $10 x + 4$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x + 4$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x + 4$ .

$10 x + 4$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 4$

Passaggio 5.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 4$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{10}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{2}{5}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{2}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$10$

Passaggio 9

$x = - \frac{2}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{2}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = - \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{5}) = 5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 10.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (1 (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.6.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.7

Moltiplica $4 (- \frac{2}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) - 6$

Passaggio 10.2.1.7.2

$- 4$ e $\frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} - 6$

Passaggio 10.2.1.7.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} - 6$

Passaggio 10.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} - 6$

Passaggio 10.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{4 - 8}{5}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{- 4}{5}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 - \frac{4}{5}$

Passaggio 10.2.3

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 10.2.4

$- 6$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 10.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5 - 4}{5}$

Passaggio 10.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.1

Moltiplica $- 6$ per $5$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 30 - 4}{5}$

Passaggio 10.2.6.2

Sottrai $4$ da $- 30$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 34}{5}$

Passaggio 10.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{5}) = - \frac{34}{5}$

Passaggio 10.2.8

La risposta finale è $- \frac{34}{5}$ .

$y = - \frac{34}{5}$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$ .

$(- \frac{2}{5}, - \frac{34}{5})$ è un minimo locale

Passaggio 12