Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x - 3$ per $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x - 3 - x - 1 \cdot 3$ .

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Passaggio 1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai $3$ da $- 3$ .

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ come ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Passaggio 2.4.2

$12$ e $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6