Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2.3

$- 8$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Passaggio 1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{8}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{8}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{x}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 8 x^{- 2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 8 (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 2.4.2

$8$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{8}{x^{2}} + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Passaggio 4.1.2.3

$- 8$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Passaggio 4.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $2 x - \frac{8}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{8}{x} = 0$ per $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{x}$ nel numeratore.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 8$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 8$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividi $8$ per $2$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 5.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 5.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 5.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 5.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 5.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{8}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{{(2)}^{2}} + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8}{4} + 2$

Passaggio 9.1.2

Dividi $8$ per $4$ .

$2 + 2$

Passaggio 9.2

Somma $2$ e $2$ .

$4$

Passaggio 10

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 - 8 \ln (2)$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica $- 8 \ln (2)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = 4 - \ln (2^{8})$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $8$ .

$f (2) = 4 - \ln (256)$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $4 - \ln (256)$ .

$y = 4 - \ln (256)$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$ .

$(2, 4 - \ln (256))$ è un minimo locale

Passaggio 13