Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali y=xe^(-x)
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 2.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 2.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.3
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.3.3.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.3.3.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.3.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Riordina i termini.
Passaggio 2.4.2
Riordina i fattori in .
Passaggio 3
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2.2
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 3.2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 3.2.3.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 3.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 3.2.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2.5
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 3.2.6
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 3.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.8
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 3.2.9
Riscrivi come .
Passaggio 3.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 3.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 3.3.1.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 3.3.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 3.3.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 3.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 3.3.5
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 3.3.6
Riscrivi come .
Passaggio 3.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 3.4.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 3.4.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.4.2.3
Sottrai da .
Passaggio 3.4.3
Riordina i termini.
Passaggio 3.4.4
Riordina i fattori in .
Passaggio 4
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 5
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 5.1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 5.1.2.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 5.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 5.1.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 5.1.3.3
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.3.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.1.3.3.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 5.1.3.3.3
Riscrivi come .
Passaggio 5.1.3.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 5.1.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 5.1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.4.1
Riordina i termini.
Passaggio 5.1.4.2
Riordina i fattori in .
Passaggio 5.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 6
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 6.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Scomponi da .
Passaggio 6.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.3
Scomponi da .
Passaggio 6.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 6.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 6.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.1
Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.
Passaggio 6.4.2.2
Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.
Indefinito
Passaggio 6.4.2.3
Non c'è soluzione per
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Passaggio 6.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 6.5.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 6.5.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 6.5.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 6.5.2.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 6.5.2.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 6.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 7
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 8
Punti critici da calcolare.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 10
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 10.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 10.1.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 10.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 10.1.5
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 10.1.6
e .
Passaggio 10.1.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 10.2
Riduci le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 10.2.2
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.2.1
Sottrai da .
Passaggio 10.2.2.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 11
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 12
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 12.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 12.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 13
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
Passaggio 14