Calcolo Esempi

$G (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{2}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $20$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 8 x^{3} + 40 x$ e $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 8 x^{3} + 40 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x]$ .

$G'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (40 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$G'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (40 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$G'' (x) = - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (40 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (40 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $40$ per $1$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 8 x^{3} + 40 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{2}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $20$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 8 x^{3} + 40 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 40 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $G (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 x^{3} + 40 x$ .

$- 8 x^{3} + 40 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 8 x^{3} + 40 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3} + 40 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 40 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- 8 x$ da $40 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 5 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 5)$ .

$- 8 x (x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{2} - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 5$

Passaggio 5.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 5.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 5.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 8 x (x^{2} - 5) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 24 {(0)}^{2} + 40$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 24 \cdot 0 + 40$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$0 + 40$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $40$ .

$40$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$G (0) = - 2 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{2} - 18$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$G (0) = - 2 \cdot 0 + 20 {(0)}^{2} - 18$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$G (0) = 0 + 20 {(0)}^{2} - 18$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$G (0) = 0 + 20 \cdot 0 - 18$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $20$ per $0$ .

$G (0) = 0 + 0 - 18$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$G (0) = 0 - 18$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $18$ da $0$ .

$G (0) = - 18$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 18$ .

$y = - 18$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 24 {(\sqrt{5})}^{2} + 40$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- 24 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40$

Passaggio 13.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Passaggio 13.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Passaggio 13.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 24 \cdot 5^{1} + 40$

Passaggio 13.1.1.5

Calcola l'esponente.

$- 24 \cdot 5 + 40$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 24$ per $5$ .

$- 120 + 40$

Passaggio 13.2

Somma $- 120$ e $40$ .

$- 80$

Passaggio 14

$x = \sqrt{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{5}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{5}$ nell'espressione.

$G (\sqrt{5}) = - 2 {(\sqrt{5})}^{4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{4}{2}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2}{1}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18$

Passaggio 15.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18$

Passaggio 15.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Passaggio 15.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Passaggio 15.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Passaggio 15.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $20$ per $5$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 100 - 18$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 50$ e $100$ .

$G (\sqrt{5}) = 50 - 18$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $18$ da $50$ .

$G (\sqrt{5}) = 32$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $32$ .

$y = 32$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 24 {(- \sqrt{5})}^{2} + 40$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$- 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 40$

Passaggio 17.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 24 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 40$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica ${\sqrt{5}}^{2}$ per $1$ .

$- 24 {\sqrt{5}}^{2} + 40$

Passaggio 17.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- 24 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40$

Passaggio 17.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40$

Passaggio 17.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Passaggio 17.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Passaggio 17.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 24 \cdot 5^{1} + 40$

Passaggio 17.1.4.5

Calcola l'esponente.

$- 24 \cdot 5 + 40$

Passaggio 17.1.5

Moltiplica $- 24$ per $5$ .

$- 120 + 40$

Passaggio 17.2

Somma $- 120$ e $40$ .

$- 80$

Passaggio 18

$x = - \sqrt{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{5}$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{5}$ nell'espressione.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {(- \sqrt{5})}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 (1 {\sqrt{5}}^{4}) + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{5}}^{4}$ per $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {\sqrt{5}}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{4}{2}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2}{1}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) - 18$

Passaggio 19.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 (1 {\sqrt{5}}^{2}) - 18$

Passaggio 19.2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{5}}^{2}$ per $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {\sqrt{5}}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18$

Passaggio 19.2.1.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18$

Passaggio 19.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Passaggio 19.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Passaggio 19.2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Passaggio 19.2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Passaggio 19.2.1.11

Moltiplica $20$ per $5$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 100 - 18$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Somma $- 50$ e $100$ .

$G (- \sqrt{5}) = 50 - 18$

Passaggio 19.2.2.2

Sottrai $18$ da $50$ .

$G (- \sqrt{5}) = 32$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $32$ .

$y = 32$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $G (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ .

$(0, - 18)$ è un minimo locale

$(\sqrt{5}, 32)$ è un massimo locale

$(- \sqrt{5}, 32)$ è un massimo locale

Passaggio 21