Calcolo Esempi

$f (x) = x + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $\cos (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 - \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 0$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 13

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Passaggio 13.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $1 - \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Passaggio 13.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Passaggio 13.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Passaggio 13.2.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 13.2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 13.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $1 - \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Passaggio 13.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1.1

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Passaggio 13.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Passaggio 13.3.2.2

Somma $1$ e $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Passaggio 13.3.2.3

La risposta finale è $1.75680249$ .

$1.75680249$

Passaggio 13.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \frac{π}{2}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 13.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = x + \cos (x)$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 14