Calcolo Esempi

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x^{3})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4

$3$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

Passaggio 3.5

$\frac{3}{x^{3}}$ e $x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

Passaggio 3.7

$4$ e $\frac{3}{x}$ .

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $4$ per $3$ .

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$