Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{24}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $24$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $3$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi $8 x^{2}$ per $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$8 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $8 x^{2} - 2$ e $0$ .

$8 x^{2} - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f'' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 16 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $16 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 16 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{8}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.3

$3$ e $\frac{8}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f' (x) = \frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.5

$\frac{24}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $24$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $24 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.2.6.2.4

Dividi $8 x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $8 x^{2} - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x^{2} - 2$ .

$8 x^{2} - 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x^{2} - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{2} = 2$

Passaggio 5.3

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{2} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{2} = 2$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{8}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 (\frac{1}{2})$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 (8) \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 8 \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3

Riscrivi l'espressione.

$8$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Combina.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 8} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3 \cdot 8} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{24} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.7

Elimina il fattore comune di $8$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 (1)}{24} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.2.1

Scomponi $8$ da $24$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1 + 1}{3}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3}$

Passaggio 11.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 2}{3}$

Passaggio 11.2.6.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 11.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.8

La risposta finale è $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$16 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 13.1.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 (8) \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 8 \frac{- 1}{2}$

Passaggio 13.1.4

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot - 1$

Passaggio 13.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8$

Passaggio 14

$x = - \frac{1}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1}{2^{3}}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1}{8}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{- 1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{- 1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.6

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.8.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 1 \cdot - 1 + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + \frac{- 1 + 1}{3}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + \frac{0}{3}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Dividi $0$ per $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 0$

Passaggio 15.2.2.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$ è un minimo locale

$(- \frac{1}{2}, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 17