Calcolo Esempi

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x^{2}$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ .

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori in $- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ .

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{1 - 2 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{1 - 2 x^{2}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{1 - 2 x^{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}})) - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 2.11.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 2.11.4

Riordina i fattori in $16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x^{2}$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ .

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

Passaggio 4.1.3.2

Riordina i fattori in $- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{1 - 2 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{1 - 2 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{1 - 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 {(0)}^{2} e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$16 \cdot 0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $16$ per $0$ .

$0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{1 - 2 \cdot 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 e^{1 + 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$0 e^{1} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.5

Semplifica.

$0 e - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $0$ per $e$ .

$0 - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 e^{1 - 2 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.7.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 - 4 e^{1 + 0}$

Passaggio 9.1.8

Somma $1$ e $0$ .

$0 - 4 e^{1}$

Passaggio 9.1.9

Semplifica.

$0 - 4 e$

Passaggio 9.2

Sottrai $4 e$ da $0$ .

$- 4 e$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = e^{1 - 2 \cdot 0}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = e^{1 + 0}$

Passaggio 11.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = e$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $e$ .

$y = e$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$(0, e)$ è un massimo locale

Passaggio 13