Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 1.11.2

Moltiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ come ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.2

${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.3.2

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 2.7.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 4.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.11.2

Moltiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 5.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ come ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(x - 1)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.3.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{9 {((1) - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{1}{3 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 10.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{1}{3 {((4) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2.4

Somma $3$ e $2$ .

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 1$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11