Calcolo Esempi

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.4

Riordina $x$ e $2$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.5

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

Passaggio 3.12

Somma $- 1 x$ e $2 x$ .

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Passaggio 10.2

Riordina i termini.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$