Calcolo Esempi

$g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $G (t)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$G (t) = \int \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{6 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 4

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (6 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Passaggio 5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Passaggio 5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6

Espandi $(6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (6 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.7

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.9

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.10

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 6.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Passaggio 6.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.12.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Passaggio 6.12.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 8

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$